如何推导首项为1/2、公比为1/2的等比数列前n项和公式？

首项为1/2、公比为1/2的等比数列前n项和公式为：

$$S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$$

推导步骤（错位相减法）

1. 写出前n项和表达式： $$S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}$$

2. 等式两边同乘公比1/2： $$\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{2^{n+1}}$$

3. 两式相减（原式减去乘以公比后的式子）： $$S_n - \frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}}$$

4. 化简左边并整理右边： $$\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$

5. 两边同乘2，得到最终结果： $$S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$$

使用等比数列求和公式直接代入

等比数列前n项和通用公式为 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（其中 $q \neq 1$）。将 $a_1 = \frac{1}{2}$，$q = \frac{1}{2}$ 代入：

$$S_n = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$$

两种方法结论一致。

适用条件

• 该公式适用于有限项（前n项）求和，n为正整数。
• 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{2^n} \to 0$，无穷级数之和收敛于1。

常见误区

• 误将无穷等比级数求和公式 $S = \frac{a_1}{1-q}$ 用于有限项计算，导致遗漏尾项 $\frac{1}{2^n}$。
• 错位相减时未对齐对应项，导致符号或指数出错。