由699个101和1个10依次拼接成的2009位数，分别除以13和11所得余数之和是多少？

余数之和为 10。

步骤如下：

该2009位数的结构为：前699组“101”（每组3位，共2097位），末尾接“10”（2位），合计2097+2=2099位——但题目明确是2009位数。重新核对：699×3=2097，加上“10”的2位为2099位，与2009位矛盾。因此应理解为：由若干个101和一个10拼接恰好构成2009位数。设101有n个，则3n+2=2009，解得n=669。但题目标题明确写“699个101”，699×3+2=2099≠2009。按标题字面意思“699个101和1个10依次拼接”实际为2099位数，此处以标题给定的拼接方式为准进行计算（即数值N = 101重复699次后接10）。

将该数表示为： N = 101 × (10^{2096} + 10^{2093} + … + 10^2) + 10

即 N = 101 × S + 10，其中 S = Σ_{k=1}^{699} 10^{3k-1}（注意指数需根据位置确定）。更准确地，从右往左编号：末两位是10，其左边第1个101占位10^2到10^4，依此类推。

N = 10 + Σ_{i=0}^{698} 101 × 10^{3i+2}

一、除以13的余数

先求10的各幂次模13的周期：10^1≡10, 10^2≡9, 10^3≡12≡-1, 10^6≡1 (mod 13)，周期为6。

101 ≡ 101 - 7×13 = 101 - 91 = 10 (mod 13)

每一项：101 × 10^{3i+2} ≡ 10 × 10^{3i+2} = 10^{3i+3} (mod 13)

由于10^3 ≡ -1 (mod 13)，所以10^{3i+3} = (10^3)^{i+1} ≡ (-1)^{i+1} (mod 13)

求和：Σ_{i=0}^{698} (-1)^{i+1} = -1 + 1 - 1 + 1 - … （共699项） i=0: (-1)^1 = -1 i=1: (-1)^2 = 1 … 699项中，奇数项(i=0,2,…,698)共350项值为-1，偶数项(i=1,3,…,697)共349项值为1。 总和 = 350×(-1) + 349×1 = -1 (mod 13)

加上末尾的10：N ≡ -1 + 10 = 9 (mod 13)

所以除以13余数为 9。

二、除以11的余数

10 ≡ -1 (mod 11)，故10^k ≡ (-1)^k (mod 11)。

101 = 99 + 2 ≡ 2 (mod 11)

每项：101 × 10^{3i+2} ≡ 2 × (-1)^{3i+2} = 2 × (-1)^{3i} × (-1)^2 = 2 × (-1)^{3i} (mod 11)

(-1)^{3i} = ((-1)^3)^i = (-1)^i

所以每项 ≡ 2×(-1)^i (mod 11)

求和：Σ_{i=0}^{698} 2×(-1)^i = 2 × (1 - 1 + 1 - 1 + … )（共699项） 699项交替求和：首项i=0为+1，末项i=698为+1，共350个+1和349个-1，和为1。 故 Σ = 2×1 = 2 (mod 11)

加上末尾10：N ≡ 2 + 10 = 12 ≡ 1 (mod 11)

所以除以11余数为 1。

三、结论

余数之和 = 9 + 1 = 10。

常见误区：

• 未验证总位数是否匹配题意，直接套用公式导致指数偏移。
• 模13计算中忽略10^3≡-1的简化技巧，逐项硬算容易出错。
• 交替求和时搞错项数奇偶性，导致符号判断错误。