yeung
回答者
回答于 2026-11-08
恰好指定两人听同一讲座的排列组合数为 12 种。
计算步骤
- 为指定的两人选择讲座：从3个讲座中选1个供这两人共同参加，有 $C_3^1 = 3$ 种选法。
- 安排剩余第一个人：为保证"恰好"只有指定两人在同一讲座，剩余两人不能选该讲座，也不能彼此同选一个讲座。第一个人从剩下的2个讲座中选1个，有 $C_2^1 = 2$ 种选法。
- 安排剩余第二个人：只能选最后剩下的1个讲座，有 $1$ 种选法。
- 应用分步乘法计数原理：总方案数 $= 3 \times 2 \times 1 = 6$ 种……
等等，上述分析遗漏了题目条件。重新审视：若要求"恰好指定两人（如甲乙）在同一讲座，而丙丁不与甲乙同讲座，但丙丁之间是否可同讲座？"
根据题意"恰好只有甲乙两人听同一个讲座"，意味着丙和丁既不能与甲乙同讲座，丙丁之间也不能同讲座（否则就存在另一对同讲座的人，或三人同讲座）。因此丙、丁必须分别去另外两个不同的讲座。
正确步骤如下：
- 指定两人（甲乙）选讲座：从3个讲座中选1个，共 $C_3^1 = 3$ 种。
- 丙选讲座：不能选甲乙所在的讲座，从剩余2个中选1个，共 $A_2^1 = 2$ 种。
- 丁选讲座：不能选甲乙的讲座，也不能与丙相同，只剩1个可选，共 $1$ 种。
- 总数：$3 \times 2 \times 1 = 6$ 种。
但若题目仅指"指定两人同讲座，不限制其余两人是否同讲座"，则：
- 甲乙选讲座：3种
- 丙选讲座：不能与甲乙同，2种
- 丁选讲座：不能与甲乙同，2种
- 总数：$3 \times 2 \times 2 = 12$ 种
根据常见题型"恰好只有甲乙两人听同一个讲座"，标准理解为其余人各自分散，答案为 6 种。若仅要求"甲乙同讲座且无其他约束"则为12种。以下按"恰好只有指定两人同讲座"给出完整解答。
最终答案：6种。
详细推导
设4人为甲、乙、丙、丁，3个讲座为A、B、C。要求恰好甲乙在同一讲座，丙丁均不与甲乙同讲座且丙丁互不同讲座。
| 步骤 | 操作 | 方法数 | |------|------|--------| | 第一步 | 甲乙从3个讲座中选1个 | $C_3^1 = 3$ | | 第二步 | 丙从剩余2个讲座中选1个 | $C_2^1 = 2$ | | 第三步 | 丁选最后1个讲座 | $1$ | | 合计 | 分步乘法计数原理 | $3\times2\times1=6$ |
判断依据
- "恰好指定两人"意味着这组两人必须在同一讲座，而其他任何人不得加入该讲座，其他人之间也不得形成新的同讲座组合。
- 使用分步乘法计数原理而非加法原理，因为各步骤是连续完成的整体事件。
适用条件
- 每人必须且只能选一个讲座。
- 讲座容量不限，但受"恰好"条件约束。
- 人员与讲座均可区分。
常见误区
- 误用排列代替组合：甲乙作为指定对象已确定，无需再对甲乙内部排序。
- 忽略"恰好"的限制：若未排除丙丁同讲座的情况，会错误算出 $3 \times 2 \times 2 = 12$ 种。
- 混淆分步与分类：本题是分步完成一件事，应相乘；若将不同情形并列讨论才相加。