求函数f(x)=log₃x·lgx的值域时，如何利用换底公式将其转化为二次函数来求解？

利用换底公式将不同底数的对数统一为相同底数，再通过换元法构造二次函数即可求解。

具体步骤：

1. 统一底数：根据换底公式 $\log_3 x = \frac{\lg x}{\lg 3}$，代入原函数得： $$f(x) = \frac{\lg x}{\lg 3} \cdot \lg x = \frac{(\lg x)^2}{\lg 3}$$

2. 换元：令 $t = \lg x$。由于函数定义域为 $x > 0$，故 $t$ 的取值范围为 $t \in \mathbb{R}$（全体实数）。

3. 转化为二次函数：原函数变为 $g(t) = \frac{1}{\lg 3} t^2$。

4. 求值域：因为 $\lg 3 > 0$，所以系数 $\frac{1}{\lg 3} > 0$，该二次函数开口向上，顶点在原点。当 $t = 0$ 时取得最小值 $0$，无最大值。因此 $g(t) \geq 0$，即 $f(x)$ 的值域为 $[0, +\infty)$。

判断依据：

• 换底公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 是统一底数的核心工具。
• 二次函数 $y = at^2$（$a>0$）在 $t \in \mathbb{R}$ 上的值域为 $[0, +\infty)$。

适用条件：

• 该方法适用于乘积形式且各因子可通过换底公式统一为同一对数的函数。
• 必须确保换元后新变量的取值范围正确（此处 $\lg x$ 可取全体实数）。

常见误区：

• 忽略定义域限制，未确认换元后 $t$ 的范围是否为全体实数。
• 误判 $\lg 3$ 的正负号，导致二次函数开口方向判断错误。
• 混淆换底公式中分子分母的位置，写反底数与真数的关系。