edchen
回答者
回答于 2026-11-08
当剪去的小正方形边长为 7cm 时，折成的无盖盒子容积最大。
计算步骤
- 建立模型：设剪去的四个小正方形边长为 x cm（x 为正整数）。折叠后，无盖盒子的尺寸为：
- 长 = (50 - 2x) cm
- 宽 = (40 - 2x) cm
- 高 = x cm
- 确定取值范围：长和宽必须大于 0，即 50 - 2x > 0 且 40 - 2x > 0，解得 x < 20。又因 x 为正整数，故 x ∈ {1, 2, 3, ..., 19}。
- 列出容积表达式：V(x) = x × (50 - 2x) × (40 - 2x)。
- 代入关键整数值计算比较：
- x = 6 时，V = 6 × 38 × 28 = 6384 cm³
- x = 7 时，V = 7 × 36 × 26 = 6552 cm³
- x = 8 时，V = 8 × 34 × 24 = 6528 cm³
- x = 9 时，V = 9 × 32 × 22 = 6336 cm³ 对比可知，当 x = 7 时，容积 V 取得最大值 6552 cm³。
判断依据
本题限制条件为“整厘米数”，因此不能直接对连续函数求导取极值点（若按连续变量求导，极值点约为 x ≈ 7.36 cm），而必须在极值点附近的整数中通过代入计算进行比较，选取使乘积最大的整数解。
适用条件
此方法适用于已知矩形纸板尺寸、要求剪去正方形边长为整数且折成无盖长方体盒子的最优化问题。
常见误区
- 忽略整数限制：直接使用微积分求导得出非整数结果（如 7.36），未按要求取整并验证相邻整数的大小关系。
- 尺寸计算错误：忘记纸板折叠时长和宽各减少了两个 x，误将长写成 (50 - x)、宽写成 (40 - x)。
- 取值范围错误：未考虑宽的限制 (40 - 2x > 0)，导致 x 的上限误判为 25。