如何求解全微分方程(ex+y－ex)dx＋(ex＋y＋ey)dy=0？

直接结论

按照标准数学记法，将 ex+y 理解为 $e^{x+y}$，ex 理解为 $e^x$，ey 理解为 $e^y$，则该方程为：

$$ (e^{x+y} - e^x)dx + (e^{x+y} + e^y)dy = 0 $$

此方程不是全微分方程，不能直接使用全微分方程的方法（即求势函数）求解。

判断依据与验证步骤

设 $P(x,y) = e^{x+y} - e^x$，$Q(x,y) = e^{x+y} + e^y$。

全微分方程的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。

1. 计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y} - e^x) = e^{x+y} $$

2. 计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y} + e^y) = e^{x+y} $$

注意：上述计算表明 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = e^{x+y}$，两者相等。

重新审视：如果严格按照上述偏导数结果，该方程确实是全微分方程。下面给出求解过程。

求解步骤

既然满足全微分条件，则存在势函数 $u(x,y)$，使得 $du = Pdx + Qdy = 0$，通解为 $u(x,y) = C$。

第一步：对 $P$ 关于 $x$ 积分

$$ u(x,y) = \int P(x,y) dx = \int (e^{x+y} - e^x) dx = e^{x+y} - e^x + \varphi(y) $$

其中 $\varphi(y)$ 是仅含 $y$ 的待定函数。

第二步：利用 $Q$ 确定 $\varphi(y)$

对上式关于 $y$ 求偏导，并令其等于 $Q$：

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{x+y} + \varphi'(y) = Q(x,y) = e^{x+y} + e^y $$

由此得：

$$ \varphi'(y) = e^y $$

第三步：积分求 $\varphi(y)$

$$ \varphi(y) = \int e^y dy = e^y $$

（常数可并入最终常数 $C$）

第四步：写出通解

$$ u(x,y) = e^{x+y} - e^x + e^y = C $$

常见误区

1. 符号歧义：ex+y 容易被误读为 $e^x + y$ 或 $e \cdot x + y$。在高等数学语境中通常指 $e^{x+y}$，但务必根据上下文确认。
2. 跳过验证：未检验 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 就直接套用全微分公式，若方程本身非恰当方程会导致错误结果。
3. 遗漏 $\varphi(y)$：对 $P$ 积分后忘记加关于 $y$ 的待定函数，导致无法正确匹配 $Q$。