根据题目描述，ABCD 是一个矩形，AC 和 BD 在点 O 相交。已知以下信息：
- AB = 24 cm
- BO = 13 cm
- OD = 13 cm
- AD = 10 cm
我们需要验证这些数据是否自洽，并计算矩形的面积。
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### 分析过程
1. **对角线平分性质**
在矩形中，对角线相等且互相平分。因此：
\[
BD = BO + OD = 13 \, \text{cm} + 13 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}
\]
同理，对角线 AC 的长度也应等于 26 cm。
2. **验证 AD 的长度**
根据勾股定理，对角线 BD 的长度应满足：
\[
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}
\]
代入已知的 AB = 24 cm 和 BD = 26 cm：
\[
26 = \sqrt{24^2 + AD^2} \implies 26^2 = 24^2 + AD^2 \implies 676 = 576 + AD^2 \implies AD = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]
与题目中给出的 AD = 10 cm 一致，数据自洽。
3. **计算面积**
矩形的面积为：
\[
\text{面积} = AB \times AD = 24 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 240 \, \text{cm}^2
\]
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### 结论
题目中的数据自洽，符合矩形的几何性质。最终答案为：
- **矩形的面积**：$\boxed{240 \, \text{cm}^2}$
