如何利用二次函数或导数方法证明当x等于m与n的算术平均值时，表达式(x-m)²+(x-n)²取得最小值？

要证明当 $x = \frac{m+n}{2}$ 时，表达式 $(x-m)^2 + (x-n)^2$ 取得最小值，可分别使用二次函数法和导数法。

方法一：二次函数法

1. 展开表达式： $$f(x) = (x-m)^2 + (x-n)^2 = x^2 - 2mx + m^2 + x^2 - 2nx + n^2$$ $$f(x) = 2x^2 - 2(m+n)x + (m^2+n^2)$$
2. 分析二次项系数：二次项系数 $a = 2 > 0$，说明抛物线开口向上，函数存在最小值。
3. 求顶点横坐标：对于 $ax^2+bx+c$，最小值在 $x = -\frac{b}{2a}$ 处取得。 $$x = -\frac{-2(m+n)}{2 \times 2} = \frac{m+n}{2}$$
4. 结论：当 $x$ 等于 $m$ 与 $n$ 的算术平均值时，$f(x)$ 取得最小值。

方法二：导数法

1. 求一阶导数： $$f'(x) = 2(x-m) + 2(x-n) = 4x - 2(m+n)$$
2. 令导数为零求驻点： $$4x - 2(m+n) = 0 \implies x = \frac{m+n}{2}$$
3. 判断极值类型：求二阶导数 $f''(x) = 4 > 0$，说明该驻点为极小值点。由于 $f(x)$ 是定义在全体实数上的连续可导函数且仅有一个极值点，该极小值即为全局最小值。
4. 结论：当 $x = \frac{m+n}{2}$ 时，表达式取得最小值。

适用条件

• $m$、$n$ 为任意给定实数，$x$ 的取值范围为全体实数。

常见误区

• 误记公式：选题背景中提到的“$x=m+n/2$”是错误的表述，正确的算术平均值为 $x=\frac{m+n}{2}$，即分子为 $m+n$ 整体，而非仅 $n$ 除以 2。
• 忽略二阶验证：使用导数法时，仅令一阶导数为零只能找到驻点，必须结合二阶导数（或开口方向）确认其为最小值而非最大值。