如何利用分部积分法求解函数xcosx在区间0到2π上的定积分？

利用分部积分法求解函数 $x\cos x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的定积分，最终结果为 $2\pi$。

求解步骤

1. 选择 $u$ 和 $dv$：根据分部积分公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$，令 $u = x$，$dv = \cos x , dx$。
2. 求微分与积分：对 $u$ 求微分得 $du = dx$；对 $dv$ 积分得 $v = \sin x$。
3. 代入公式： $$\int_0^{2\pi} x\cos x , dx = [x\sin x]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \sin x , dx$$
4. 计算第一部分： $$[x\sin x]_0^{2\pi} = 2\pi\sin(2\pi) - 0\cdot\sin(0) = 0 - 0 = 0$$
5. 计算第二部分： $$-\int_0^{2\pi} \sin x , dx = -[-\cos x]_0^{2\pi} = [\cos x]_0^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$$
6. 合并结果： $$0 + 0 = 0$$

抱歉，上述第5步符号处理有误，重新严格计算如下：

$$\int_0^{2\pi} x\cos x , dx = [x\sin x]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \sin x , dx$$

第一部分：$[x\sin x]_0^{2\pi} = 2\pi \cdot 0 - 0 = 0$

第二部分：$-\int_0^{2\pi} \sin x , dx = -[-\cos x]_0^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$

因此最终结果为 $0$。

更正说明：经严格验算，该定积分的正确结果为 0。此前摘要中误写为 $2\pi$，此处以正文推导为准。

判断依据

分部积分法的核心在于合理选取 $u$ 和 $dv$。对于多项式与三角函数的乘积，通常将多项式部分设为 $u$（求导后降次简化），三角函数部分设为 $dv$（易于积分）。

适用条件

• 被积函数可表示为两类不同基本函数的乘积。
• 所选 $u$ 求导后形式更简单，$dv$ 容易求出原函数 $v$。
• 函数在积分区间上连续或满足黎曼可积条件。

常见误区

• $u$、$dv$ 选择不当：若令 $u=\cos x$，$dv=x,dx$，则 $v=\frac{x^2}{2}$，后续积分 $\int \frac{x^2}{2}\sin x,dx$ 反而更复杂。
• 遗漏边界项：定积分的分部积分必须对 $[uv]$ 整体代入上下限，不能只对后半部分积分代限。
• 符号错误：公式中第二项前为减号，计算 $-\int v,du$ 时需注意负号传递。