设函数f(x)=(x²-6x+c₁)(x²-6x+c₂)，若其四个零点构成等差数列，如何求c₁与c₂的值？

令 $t = x^2 - 6x$，则 $f(x) = (t + c_1)(t + c_2)$。四个零点对应方程 $x^2 - 6x + c_1 = 0$ 和 $x^2 - 6x + c_2 = 0$ 的根。

步骤：

1. 分析对称性：两个二次方程的对称轴均为 $x = 3$，因此四个零点关于 $x = 3$ 对称。设四个零点按从小到大排列为 $x_1, x_2, x_3, x_4$，构成公差为 $d$（$d > 0$）的等差数列，则： $$x_1 = 3 - \frac{3d}{2},\quad x_2 = 3 - \frac{d}{2},\quad x_3 = 3 + \frac{d}{2},\quad x_4 = 3 + \frac{3d}{2}$$

2. 配对分组：由韦达定理，每个二次方程两根之和为6。满足和为6的配对方式为 $(x_1, x_4)$ 和 $(x_2, x_3)$。

3. 计算常数项：

   • 一组根之积：$c_1 = x_1 \cdot x_4 = \left(3 - \frac{3d}{2}\right)\left(3 + \frac{3d}{2}\right) = 9 - \frac{9d^2}{4}$
   • 另一组根之积：$c_2 = x_2 \cdot x_3 = \left(3 - \frac{d}{2}\right)\left(3 + \frac{d}{2}\right) = 9 - \frac{d^2}{4}$

4. 确定具体值：题目要求四个零点构成等差数列且通常隐含四个不同实数根的条件。为使结果唯一，经典题型中常取最小正整数公差 $d = 2$（此时四个零点为 $0, 2, 4, 6$），代入得： $$c_1 = 9 - 9 = 0,\quad c_2 = 9 - 1 = 8$$ 或交换顺序 $c_1 = 8, c_2 = 0$。

判断依据：

• 两根之和等于一次项系数的相反数（韦达定理）。
• 等差数列的对称中心必须与抛物线对称轴重合。

适用条件：

• 需保证判别式 $\Delta = 36 - 4c_i > 0$，即 $c_i < 9$，确保有实数根。
• 若要求四个不同零点，则 $c_1 \neq c_2$ 且 $d \neq 0$。

常见误区：

• 忽略对称性，错误地将相邻零点配为同一方程的根（如 $x_1+x_2=6-d \neq 6$）。
• 未考虑 $c_1$ 与 $c_2$ 可互换，遗漏解的情况。
• 未验证判别式导致出现虚根。