当a、b、c是1至9中互不相同的自然数时，如何求表达式(a+b+c)除以abc的最大值？

当a、b、c是1至9中互不相同的自然数时，表达式(a+b+c)/(abc)的最大值为11/6，此时a、b、c分别取1、2、3（顺序不限）。

求解步骤：

1. 代数变形：将原式拆分化简： (a+b+c)/(abc) = a/(abc) + b/(abc) + c/(abc) = 1/(bc) + 1/(ac) + 1/(ab)

2. 分析极值条件：要使上述三个分数之和最大，需要每个分数的分母尽可能小。即乘积ab、ac、bc应尽可能小，这要求a、b、c本身尽可能小。

3. 代入取值：根据限制条件“1至9中互不相同的自然数”，可选的最小三个数为1、2、3。令{a, b, c} = {1, 2, 3}，代入计算： (1+2+3)/(1×2×3) = 6/6 = 1 或者按拆分形式计算：1/(2×3) + 1/(1×3) + 1/(1×2) = 1/6 + 1/3 + 1/2 = 11/6。

4. 验证其他组合：若取1、2、4，则(1+2+4)/(1×2×4)=7/8；若取2、3、4，则(2+3+4)/(2×3×4)=9/24=3/8。均小于11/6，因此11/6即为最大值。

判断依据： 函数f(a,b,c)=(a+b+c)/(abc)在正整数范围内关于各变量单调递减。变量取值越小，函数值越大。因此在给定范围的下界处取得最大值。

适用条件：

• a、b、c均为正整数（自然数且不为0）。
• 三者互不相同。
• 取值范围为1至9。

常见误区：

• 运算优先级错误：将题目误读为 a + b + c/(abc)，即只对c进行除法运算，导致结果完全不同。正确的理解应为整体相除 (a+b+c)/(abc)。
• 忽略互不相同条件：若允许相同，取a=b=c=1可得最大值3，但这违反了题目“互不相同”的限制。
• 未做代数拆分：直接枚举所有组合虽然可行，但计算量大且容易遗漏，通过拆分可快速锁定最优解方向。