要判断一个方程是否为双曲线，可以通过以下步骤进行分析：
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### **1. 标准形式对比**
双曲线的**标准方程**有两种形式：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{（横轴方向开口）}
$$
$$
\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \quad \text{（纵轴方向开口）}
$$
- **关键特征**：方程中两个平方项之间为**减号**（`−`）。
- 如果方程能化简为上述形式，则为双曲线。
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### **2. 判别二次曲线类型**
对于一般二次方程：
$$
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
$$
可通过**判别式**判断是否为双曲线：
$$
\Delta = B^2 - 4AC
$$
- **若 $\Delta > 0$**，则为双曲线；
- 若 $\Delta = 0$，则为抛物线；
- 若 $\Delta < 0$，则为椭圆（或圆）。
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### **3. 几何特征验证**
双曲线的几何特性包括：
- **两条渐近线**：双曲线无限趋近于两条直线；
- **两个分支**：开口方向由标准方程决定；
- **离心率 $e > 1$**；
- **存在两个焦点**，满足 $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 为焦距）。
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### **示例**
**问题**：判断 $3x^2 - 4y^2 = 12$ 是否为双曲线。
**解答**：
1. 将方程化简为标准形式：
$$
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1
$$
2. 符合双曲线标准方程（减号 + 平方项），因此是双曲线。
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### **总结**
- **符号**：平方项之间为**减号**；
- **判别式**：$\Delta > 0$；
- **几何特征**：两条渐近线、离心率大于 1。