已知关于x的方程 mx^2 + (3-m)x - 3 = 0（m为实数，m≠0），请证明此方程总有两个实数根。

要证明关于 ( x ) 的方程 ( mx^2 + (3 - m)x - 3 = 0 )（( m \neq 0 )）总有两个实数根，可以通过以下步骤进行推导：

步骤 1：计算判别式

对于二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，判别式为： [ \Delta = b^2 - 4ac ] 当前方程的系数为： [ a = m, \quad b = 3 - m, \quad c = -3 ] 代入判别式： [ \Delta = (3 - m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-3) ]

步骤 2：展开并简化

展开计算： [ \Delta = (9 - 6m + m^2) + 12m = m^2 + 6m + 9 ] 进一步因式分解： [ \Delta = (m + 3)^2 ]

步骤 3：分析判别式的符号

由于平方数恒非负，即： [ \Delta = (m + 3)^2 \geq 0 \quad \text{对所有实数 } m \text{ 成立} ] 因此，判别式始终非负，方程必有两个实数根（可能为重根）。

结论

无论 ( m ) 取何非零实数，方程 ( mx^2 + (3 - m)x - 3 = 0 ) 的判别式始终非负（( \Delta \geq 0 )），故方程总有两个实数根。当 ( m = -3 ) 时，方程有一个重根；其他情况下，方程有两个不同的实数根。

为了证明这个结论，我们可以使用判别式Δ的方法。判别式Δ的定义为：Δ = b^2 - 4ac。对于给定的方程，我们有a = m, b = 3 - m, c = -3。将这些值代入判别式的公式中，我们得到：

Δ = (3 - m)^2 - 4 * m * (-3)