### 问题重述 我们需要找出所有不超过2024的自然数N，满足以下条件：在1到9这九个自然数中，至少有八个可以整除N。这样的数被称为“YM”。问有多少个这样的自然数N？ --- ### 理解题意 首先明确几个关键点： 1. **范围**: N ∈ {1, 2, ..., 2024}。 2. **条件**:“1-9中有至少八个数能整除N”。换句话说，最多只有一个数字不能整除N（因为总共有9个数）。 - 情况1：恰好8个数能整除N（即1个不能整除）。 - 情况2：全部9个数都能整除N（即没有不能整除的）。 因此，我们需要分别计算这两种情况下的可能值，然后相加得到最终结果。 --- ### 分析公共倍数的性质 注意到如果某个数被多个较小的整数同时整除，那么它一定是这些数的最小公倍数（LCM）的倍数。我们先计算一些相关的最小公倍数： #### 全集 {1,2,...,9} 的 LCM 求 LCM(1,2,…,9)：分解质因数后取最高幂次相乘： - 2³ × 3² × 5¹ × 7¹ = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520 所以 LCM(1~9)=2520 > 2024，因此在本题范围内不存在能被所有1~9整除的数（因为最小的这样的数已经是2520>2024）。这意味着第二种情况（全部9个都整除）不可能出现！因此我们只需要考虑第一种情况：恰好8个数能整除N。 #### 排除某一个特定数字后的 LCM 现在考虑从{1,2,…,9}中去掉某一个数dᵢ，剩下的8个数的LCM记为L_i。那么所有形如k·L_i且≤2024的数就是候选解之一。我们需要枚举每一个可能的dᵢ∈{1,2,…,9}，并检查对应的L_i及其倍数是否满足原始条件。 具体来说，对于每个dᵢ∈{1,2,…,9}： 1. 构造集合 Sᵢ = {1,2,…,9}\{dᵢ}。 2. 计算 Mᵢ = LCM(Sᵢ)。 3. 找出所有 m ∈ ℕ⁺ 使得 m·Mᵢ ≤ 2024。这些m·Mᵢ就是我们初步筛选出的候选者。但还要注意验证它们确实只不被dᵢ整除，而不被其他任何不在Sᵢ中的数整除——不过由于我们是直接去掉了一个元素再求LCM，理论上应该自动保证这一点，但仍建议双重确认以避免遗漏或错误。 下面逐一处理每种情况： --- #### Case 1: 去掉 1 (即保留 {2,3,4,5,6,7,8,9}) - S₁={2,3,4,5,6,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₁ = 2³×3²×5×7 = 8×9×5×7 = 2520 > 2024 → 无解 #### Case 2: 去掉 2 (即保留 {1,3,4,5,6,7,8,9}) - S₂={1,3,4,5,6,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₂ = 同上 = 2520 > 2024 → 无解 #### Case 3: 去掉 3 (即保留 {1,2,4,5,6,7,8,9}) - S₃={1,2,4,5,6,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₃ = 还是2520 > 2024 → 无解 #### Case 4: 去掉 4 (即保留 {1,2,3,5,6,7,8,9}) - S₄={1,2,3,5,6,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₄ = 依然是2520 > 2024 → 无解 #### Case 5: 去掉 5 (即保留 {1,2,3,4,6,7,8,9}) - S₅={1,2,3,4,6,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 7¹ - LCM₅ = 8×9×7 = 504 - 现在找 k∈ℕ⁺ 使 k·504 ≤ 2024: - k_max = floor(2024 / 504) ≈ 4.015 → k=1,2,3,4 - 对应数值：504, 1008, 1512, 2016 - 验证这些数是否真的只不被5整除： - 以504为例：504÷5=100.8≠ℤ → ✔️；其他因子均能整除。 - 同理可验证其余三个也符合要求。 - 因此此情形下有4个有效解。 #### Case 6: 去掉 6 (即保留 {1,2,3,4,5,7,8,9}) - S₆={1,2,3,4,5,7,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₆ = 2520 > 2024 → 无解 #### Case 7: 去掉 7 (即保留 {1,2,3,4,5,6,8,9}) - S₇={1,2,3,4,5,6,8,9} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3² (来自9), 5¹ - LCM₇ = 8×9×5 = 360 - 找 k∈ℕ⁺ 使 k·360 ≤ 2024: - k_max = floor(2024 / 360) ≈ 5.622 → k=1,2,3,4,5 - 对应数值：360, 720, 1080, 1440, 1800 - 验证这些数是否真的只不被7整除： - 以360为例：360÷7≈51.428≠ℤ → ✔️；其他因子均能整除。 - 同理可验证其余四个也符合要求。 - 因此此情形下有5个有效解。 #### Case 8: 去掉 8 (即保留 {1,2,3,4,5,6,7,9}) - S₈={1,2,3,4,5,6,7,9} - 分解质因数： - 2² (来自4), 3² (来自9), 5¹, 7¹ - LCM₈ = 4×9×5×7 = 1260 - 找 k∈ℕ⁺ 使 k·1260 ≤ 2024: - k_max = floor(2024 / 1260) ≈ 1.606 → k=1 - 对应数值：1260 - 验证1260是否真的只不被8整除： - 1260÷8=157.5≠ℤ → ✔️；其他因子均能整除。 - 因此此情形下有1个有效解。 #### Case 9: 去掉 9 (即保留 {1,2,3,4,5,6,7,8}) - S₉={1,2,3,4,5,6,7,8} - 分解质因数： - 2³ (来自8), 3¹ (来自3或6), 5¹, 7¹ - LCM₉ = 8×3×5×7 = 840 - 找 k∈ℕ⁺ 使 k·840 ≤ 2024: - k_max = floor(2024 / 840) ≈ 2.409 → k=1,2 - 对应数值：840, 1680 - 验证这两个数是否真的只不被9整除： - 840÷9≈93.333≠ℤ → ✔️；其他因子均能整除。 - 1680÷9≈186.666≠ℤ → ✔️；其他因子均能整除。 - 因此此情形下有2个有效解。 --- ### 汇总结果 将所有有效解加起来： | 去掉的数字 | 数量 | |------------|------| | 5 | 4 | | 7 | 5 | | 8 | 1 | | 9 | 2 | 总计：4 + 5 + 1 + 2 = **12** --- ### 最终答案 共有 **12** 个不超过2024的自然数N满足题目所述的条件（即“YM”）。
