### 问题重述 在三角形ABC中，已知： - BD = AC - ∠ADC = 54° - ∠CAD = 42° 求：∠B的度数。 --- ### 解题步骤 #### 第一步：标记图形并标注已知条件 首先，我们画出三角形ABC，并在边BC上取一点D（因为题目提到了点D）。根据题意： 1. BD = AC（即线段BD的长度等于边AC的长度）。 2. ∠ADC = 54°（这是角ADC的大小）。 3. ∠CAD = 42°（这是角CAD的大小）。 需要注意的是，这里的“AD”是从顶点A到点D的连线，形成了两个新的三角形：△ADC和△ABD。不过更准确地说，应该是整个图形被分割成了几个部分。为了清晰起见，我们可以这样理解： - A是公共顶点之一； - D位于BC边上； - 因此，我们有三条主要线段：AB、AC、AD以及BD、DC等。 但更合理的画法可能是这样的： - 设三角形ABC，其中BC为底边； - 点D在BC上，使得BD = AC； - 然后连接AD，形成两个小三角形：△ABD和△ADC。 #### 第二步：分析△ADC 观察△ADC： - 已知∠CAD = 42°； - ∠ADC = 54°； - 那么第三个角∠ACD可以通过内角和公式求出： - ∠ACD = 180° − ∠CAD − ∠ADC = 180° − 42° − 54° = 84°。 所以，在△ADC中，三个角分别是： - ∠CAD = 42° - ∠ADC = 54° - ∠ACD = 84° #### 第三步：利用正弦定理建立关系 由于BD = AC，我们可以考虑使用正弦定理来关联这两个量。具体来说，我们可以分别在△ABD和△ADC中使用正弦定理。 不过，我们先尝试另一种方法——设变量法。 设AC = x，则BD = x（因为BD = AC）。 现在，我们需要找到与这些边相关的表达式。注意到在△ADC中，我们知道所有角度和一个边的相对关系。如果我们能表达出其他边的长，可能会有帮助。 应用正弦定理于△ADC： $$ \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{DC}{\sin(\angle CAD)} \\ \Rightarrow \frac{x}{\sin(54^\circ)} = \frac{DC}{\sin(42^\circ)} \\ \Rightarrow DC = x \cdot \frac{\sin(42^\circ)}{\sin(54^\circ)} $$ 同样，在△ABD中，我们有边BD = x，以及角ADB（注意不是同一个角）。实际上，角ADB实际上是补角的概念，因为∠ADC + ∠ADB = 180°（因为它们构成平角）。所以： $$ \angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ $$ 现在，在△ABD中，我们有： - BD = x - ∠ADB = 126° - ∠BAD是多少呢？我们知道∠BAC是由∠BAD和∠CAD组成的，即∠BAC = ∠BAD + ∠CAD。但我们还不知道∠BAC的具体值。不过，我们可以先用符号表示。 设∠BAD = y，那么∠BAC = y + 42°。 在△ABD中，根据内角和： $$ \angle B + \angle BAD + \angle ADB = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle B + y + 126^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \angle B + y = 54^\circ \quad (1) $$ 接下来，回到整个大三角形ABC。它的三个内角之和也是180°： $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \\ \text{其中，}\angle A = \angle BAC = y + 42^\circ, \\ \angle C = \angle ACB = \angle ACD = 84^\circ \\ \Rightarrow (y + 42^\circ) + \angle B + 84^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow y + \angle B + 126^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow y + \angle B = 54^\circ \quad (2) $$ 有趣的是，方程(1)和方程(2)是完全相同的！这意味着我们需要更多的信息来确定具体的数值。看来直接这样无法推进，我们需要换一个思路。 #### 第四步：重新审视几何关系 让我们回到最初的设定： - BD = AC； - 在△ADC中，我们已经计算出∠ACD = 84°； - 因此，∠C = ∠ACB = 84°（因为D在BC上）； - 现在，我们知道了两个角和一个边的关系，可以尝试构造辅助线或全等/相似三角形。 考虑作一个辅助构造：在某个位置创建一个与已知条件匹配的新三角形。例如，可以在外部构造一个等于AC的线段，看看是否能形成有用的全等或相似关系。 具体操作如下： 1. 以点C为中心，将△ADC旋转一定角度，使得AC落到BD的位置。因为BD = AC，这种旋转可能是可行的。 2. 或者，考虑将△ADC翻转并平移，使其与另一部分重合。 然而，这种方法似乎比较复杂。换一种思路：既然BD = AC，我们可以尝试让这两个边对应起来。 #### 第五步：构造全等三角形 尝试构造一个与△ADC全等的另一个三角形。具体来说： 1. 在BC的另一侧（延长线上）找一个点E，使得BE = AC = BD； 2. 然后比较两个三角形的性质。 但这也可能过于复杂。不如直接用三角函数计算。 #### 第六步：应用正弦定理彻底求解 我们已经有： - 在△ADC中： - AC / sin(∠ADC) = DC / sin(∠CAD) ⇒ x / sin(54°) = DC / sin(42°) ⇒ DC = x * sin(42°) / sin(54°) - BC = BD + DC = x + [x * sin(42°) / sin(54°)] = x [1 + sin(42°)/sin(54°)] 现在，考虑整个三角形ABC： - 根据正弦定理： - AC / sin(∠B) = BC / sin(∠BAC) - x / sin(∠B) = BC / sin(y + 42°) - BC = x [1 + sin(42°)/sin(54°)] - 所以：x / sin(∠B) = x [1 + sin(42°)/sin(54°)] / sin(y + 42°) ⇒ 1 / sin(∠B) = [1 + sin(42°)/sin(54°)] / sin(y + 42°) ⇒ sin(y + 42°) = [1 + sin(42°)/sin(54°)] * sin(∠B) 同时，从之前的推导，我们有： y + ∠B = 54° ⇒ y = 54° − ∠B 代入上式： sin((54° − ∠B) + 42°) = [1 + sin(42°)/sin(54°)] * sin(∠B) sin(96° − ∠B) = [1 + sin(42°)/sin(54°)] * sin(∠B) 利用正弦差公式： sin(96° − ∠B) = sin(96°)cos(∠B) − cos(96°)sin(∠B) 因此： sin(96°)cos(∠B) − cos(96°)sin(∠B) = [1 + sin(42°)/sin(54°)] * sin(∠B) 将所有含sin(∠B)的项移到一边： sin(96°)cos(∠B) = [1 + sin(42°)/sin(54°) + cos(96°)] * sin(∠B) 两边除以cos(∠B)： sin(96°) = [1 + sin(42°)/sin(54°) + cos(96°)] * tan(∠B) 计算各项数值： - sin(96°) ≈ sin(90° + 6°) = cos(6°) ≈ 0.9945 - cos(96°) ≈ cos(90° + 6°) = -sin(6°) ≈ -0.1045 - sin(42°) ≈ 0.6691 - sin(54°) ≈ 0.8090 - 1 + sin(42°)/sin(54°) ≈ 1 + 0.6691 / 0.8090 ≈ 1 + 0.8271 ≈ 1.8271 - 1 + sin(42°)/sin(54°) + cos(96°) ≈ 1.8271 − 0.1045 ≈ 1.7226 因此： 0.9945 ≈ 1.7226 * tan(∠B) tan(∠B) ≈ 0.9945 / 1.7226 ≈ 0.5773 ∠B ≈ arctan(0.5773) ≈ 30° #### 验证结果 如果∠B = 30°，那么从y + ∠B = 54°得y = 24°。 然后∠BAC = y + 42° = 66°。 检查三角形ABC的内角和： ∠A + ∠B + ∠C = 66° + 30° + 84° = 180°，符合。 因此，∠B = 30°是正确的解。 --- ### 最终答案 经过上述推导和验证，**角B的度数为30°**。

首先，我们可以利用正弦定理来解决这个问题。正弦定理表明，在任意三角形ABC中，边a、b、c与其对应角的正弦值之间有关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。 由于BD=AC，我们可以设BD=AC=x，那么BC=2x。现在我们可以将三角形ABC分为两个直角三角形：△ABD和△ACD。 在△ABD中，我们有： - AD = x * sin(54°) - BD = x * cos(54°) 在△ACD中，我们有： - AD = x * sin(42°) - CD = x * cos(42°) 由于AD是两三角形共有的边，我们可以得到： x * sin(54°) = x * sin(42°) 从这个等式中，我们可以解出： sin(54°) = sin(42°) 由于正弦函数在0°到180°的范围内是单调递增的，所以当两个角的正弦值相等时，这两个角也相等。因此，我们得到： 54° = 42° 这是不可能的，因为54°不等于42°。这意味着我们在解题过程中犯了错误。我们需要重新审视题目和解题步骤。 实际上，我们应该注意到，由于BD=AC，并且角ADC和角CAD的和为96°（54°+42°），这意味着角ADC和角CAD是互补角。因此，角ABC是直角，即角B=90°。 所以，答案是：角B=90°。