### 问题重述 一个圆柱，如果其高度增加2分米，那么它的表面积会增加25.12平方分米，同时体积会增加40%。请问原来的圆柱体积是多少立方分米？ --- ### 解题步骤 #### 1. 设定变量 设原圆柱的高为 \( h \) 分米，底面半径为 \( r \) 分米。 则： - **原侧面积** = \( 2\pi r h \) - **新高度** = \( h + 2 \) - **新侧面积** = \( 2\pi r (h + 2) \) - **表面积增加量** = 新侧面积 − 原侧面积 = \( 2\pi r (h + 2) - 2\pi r h = 4\pi r \) 根据题意，表面积增加了25.12平方分米，因此： \[ 4\pi r = 25.12 \] 取 \(\pi \approx 3.14\)，代入得： \[ 4 \times 3.14 \times r = 25.12 \] \[ r = \frac{25.12}{4 \times 3.14} = 2 \text{ 分米} \] #### 2. 利用体积变化关系 原体积为 \( V_{\text{原}} = \pi r^2 h \)，新体积为 \( V_{\text{新}} = \pi r^2 (h + 2) \)。 题目说体积增加了40%，即： \[ V_{\text{新}} = V_{\text{原}} + 0.4 V_{\text{原}} = 1.4 V_{\text{原}} \] 代入表达式： \[ \pi r^2 (h + 2) = 1.4 \pi r^2 h \] 两边约去 \(\pi r^2\)（\(r > 0\)）： \[ h + 2 = 1.4 h \] 解得： \[ 2 = 0.4 h \] \[ h = 5 \text{ 分米} \] #### 3. 计算原体积 已知 \( r = 2 \) 分米，\( h = 5 \) 分米，则原体积为： \[ V_{\text{原}} = \pi r^2 h = 3.14 \times 2^2 \times 5 = 3.14 \times 4 \times 5 = 62.8 \text{ 立方分米} \] --- ### 最终答案 原来的圆柱体积是 **62.8 立方分米**。

我们需要求解原圆柱的体积。已知当高度增加2分米时，表面积增加25.12平方分米，体积增加40%。步骤如下： --- ### **1. 体积关系分析** 设原圆柱的半径为 \( r \)，高度为 \( h \)，体积为 \( V = \pi r^2 h \)。 当高度增加2分米后，体积变为： \[ V' = \pi r^2 (h + 2) \] 根据题意，体积增加40%，即： \[ \pi r^2 (h + 2) = 1.4 \pi r^2 h \] 两边约去 \( \pi r^2 \)，得： \[ h + 2 = 1.4h \quad \Rightarrow \quad 0.4h = 2 \quad \Rightarrow \quad h = 5 \, \text{分米} \] --- ### **2. 表面积关系分析** 原表面积： \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \] 高度增加2分米后，表面积变为： \[ S' = 2\pi r^2 + 2\pi r (h + 2) \] 表面积增量来自侧面积： \[ \Delta S = 2\pi r \cdot 2 = 4\pi r = 25.12 \, \text{平方分米} \] 解得半径： \[ r = \frac{25.12}{4\pi} = \frac{25.12}{4 \times 3.14} = 2 \, \text{分米} \] --- ### **3. 求原体积** 代入 \( r = 2 \, \text{分米} \) 和 \( h = 5 \, \text{分米} \)： \[ V = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi \, \text{立方分米} \] 取 \( \pi \approx 3.14 \)，则： \[ V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \, \text{立方分米} \] --- **答案** 原来的圆柱体积是 \(\boxed{62.8}\) 立方分米。

假设原来的圆柱底面半径为r分米，高为h分米。那么原始圆柱的体积V为πr²h立方分米。当高度增加2分米后，新的高度为h+2分米。根据题目，新的表面积为2πr(h+2)平方分米，体积为πr²(h+2)立方分米。 由于表面积增加了25.12平方分米，我们可以得到方程：2πr(h+2) - 2πrh = 25.12。简化后得到：4πr = 25.12。从这个方程中解出r，我们得到r = 25.12 / (4π)。 接下来，我们利用体积增加的百分比来求解h。体积增加了40%，所以新的体积是原来体积的1.4倍。即πr²(h+2) = 1.4πr²h。将r的表达式代入，得到(25.12 / (4π))(h+2) = 1.4 * πr²h。进一步化简得到h+2 = 1.4h，解得h = 8分米。 现在我们有了r和h的值，可以计算原始圆柱的体积：V = πr²h = π * (25.12 / (4π))² * 8 = 125.6立方分米。 综上所述，原来的圆柱体积是125.6立方分米。